偏导数¶
例1 一定量的理想气体的压强 $P$, 体积 $V$ ，热力 温度 $T$ 三者之间的关系为 $$ \left.P=\frac{R T}{V} \text { ( } R \text { 为常量 }\right) \text {. } $$ 当温度不变时 (等温过程), 压强 $P$ 关于体积 $V$ 的 变化率就是 $$ \left(\frac{\mathrm{d} P}{\mathrm{~d} V}\right)_{T=\text { 常数 }}=-\frac{R T}{V^{2}}, $$ 这种形式的变化率称为二元函数的偏导数.
偏导数的定义¶
定义 设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的某一邻域内有 定义, 当 $y$ 固定在 $y_{0}$ 而 $x$ 在 $x_{0}$ 处有改变量 $\Delta x$ 时相应地函数有改变量 $f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 如果极限 $$ \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x, y_{0}\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta x} $$ 存在, 则称此极限为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $x$ 的偏导数
类似地，当 $x$ 固定在 $x_{0}$, 而 $y$ 在 $y_{0}$ 处有改变量 $\Delta y$ 如果极限 $\lim _{\Delta y \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+\Delta y\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\Delta y}$ 存在, 则称此极限为 数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $y$ 的偏导数.
如果函数 $z=f(x, y)$ 在区域 $D$ 内每一点 $(x, y)$ 处对 $x$ 的偏导数都存在, 且这个偏导数仍是 $x, y$ 的函数, 称 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial x}, z_{x}$ 或 $f_{x}(x, y)$ 为函数 $z=f(x, y)$ 对自变量 $x$ 的偏导数.
类似地, 可以定义函数 $z=f(x, y)$ 对自变量 $y$ 的偏 导数, 记为 $$ \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial y}, z \text { 或 } f_{y}(x, y) . $$
偏导数的求法¶
从偏导数的定义可以看到, 偏导数的实质就是把一个自变量固定，而将二元函数 $z=f(x, y)$ 看成是另一个自变量的一元函数的导数. 因此, 求二元函数的偏导数, 只须用一元函数的微分法, 把一个自变量暂时视为常量, 而对另一个自变量进行一元函数求导即可.
例2 求 $z=x^{2} \sin y$ 的偏导数.
解: 把 $y$ 看作常量对 $x$ 求导数, 得 $\frac{\partial z}{\partial x}=2 x \sin y$. 把 $x$ 看作常量对 $y$ 求导数, 得 $\frac{\partial z}{\partial y}=x^{2} \cos y$.
例3 求 $z=x^{y}$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
解: 对 $x$ 求导时, 把 $y$ 看作常量对 $x$ 求导, 得 $\frac{\partial z}{\partial x}=y x^{y-1}$. 对 $y$ 求导时，把 $x$ 看作常量对 $y$ 求导, 得 $\frac{\partial z}{\partial y}=x^{y} \ln x$.
例4 求 $z=\ln \left(1+x^{2}+y^{2}\right)$ 在点 $(1,2)$ 处的偏导数.
解: 偏导数 $$ \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{2 x}{1+x^{2}+y^{2}}, \frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 y}{1+x^{2}+y^{2}} $$ 在 $(1,2)$ 处的偏导数就是偏导数在 $(1,2)$ 处的值, 所以 $$ \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=\frac{1}{3},\left.\quad \frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,2)}=\frac{2}{3} $$
例5 设 $f(x, y)=\mathrm{e}^{\arctan \frac{y}{x}} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$, 求 $f_{x}(1,0)$.
解: 如果先求偏导数 $f_{x}(x, y)$, 运算是比较繁杂的, 但是若先把函数中的 $y$ 固定在 $y=0$, 则有 $f(x, 0)=2 \ln x$, 从而 $f_{x}(x, 0)=\frac{2}{x}, f_{x}(1,0)=2$.
例6 求 $u=\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\frac{x y}{z}$ 的偏导数.
解: 把 $y$ 和 $z$ 暂时看作常量对 $x$ 求导, 得 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{y}{z}$.把 $z$ 和 $x$ 暂时看作常量对 $y$ 求导，得 $\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}+\frac{x}{z}$.把 $x$ 和 $y$ 暂时看作常量对 $z$ 求导, 得 $\frac{\partial u}{\partial z}=-\frac{x y}{z^{2}}$
例7 设理想气体状态方程为 $P V=R T(R$ 为常数), 证明: $\frac{\partial P}{\partial V} \frac{\partial V}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial P}=-1$.
证: 因为 $P=\frac{R T}{V}$, 所以 $\frac{\partial P}{\partial V}=-\frac{R T}{V^{2}}$. 又 $V=\frac{R T}{P}$, 所以 $\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{R}{P}$.
同样由 $T=\frac{P V}{R}$, 所以 $\frac{\partial T}{\partial P}=\frac{V}{R}$. 因此, $\frac{\partial P}{\partial V} \frac{\partial V}{\partial T} \frac{\partial T}{\partial P}=\left(-\frac{R T}{V^{2}}\right) \frac{R V}{P} \frac{R}{R}=-\frac{R T}{P V}=-1$.
偏导数的几何意义¶
从偏导数的定义可知, 二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处对 $x$ 的偏导数 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 就是一元函数 $z=f\left(x, y_{0}\right)$ 在 $x_{0}$ 处的导数 $\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} f\left(x, y_{0}\right)\right|_{x=x_{0}}$.
设 $M_{0}\left(x_{0}, y_{0}, f\left(x_{0}, y_{0}\right)\right)$ 为曲面 $z=f(x, y)$ 上的一点, 过 $M_{0}$ 作 平面 $y=y_{0}$ ，这个平面在曲面上截得一曲线 $\left\{\begin{array}{c}z=f(x, y), \\ y=y_{0}\end{array}\right.$. 由一元函数的导数的几何意义可知 $\left.\frac{\mathrm{d} f\left(x, y_{0}\right)}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_{0}}$. 即 $f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 就是这条曲线 $C_{x}$ 在点 $M_{0}$ 处的 切线 $M_{0} T_{x}$ 对 $x$ 轴的斜率, 即 $$ f_{x}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\tan \alpha \text {. } $$
同理, $f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 是曲面 $z=f(x, y)$ 与平面 $x=x_{0}$ 的交 线 $C_{y}$ 在点 $M_{0}$ 处的切线 $M_{0} T_{y}$ 对 $y$ 轴的斜率，即 $$ f_{y}\left(x_{0}, y_{0}\right)=\tan \beta \text {. } $$
